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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.16 - Ex. 3

Usando o resultado encontrado no exercício 1 , item ( c ) , com c = 0 , determinar um valor aproximado para ln ⁡ 0,5 . Fazer uma estimativa para o erro.

Passo 1

No exercício 1 , item ( c ) , nós encontramos o polinômio de Taylor que aproxima o valor de ln ⁡ 1 - x , em torno de c = 0 .

ln ⁡ 1 - x = P 4 x = - x - x 2 2 - x 3 3 - x 4 4

Portanto, pra gente chegar em ln ⁡ 0,5 , precisamos só aplicar x = 1 2 .

Substituindo no polinômio,

ln ⁡ 1 - 1 2 = P 4 1 2 = - 1 2 - 1 2 2 2 - 1 2 3 3 - 1 2 4 4

ln ⁡ 1 2 = - 131 192 ≅ - 0,682

Passo 2

Pra fazer a estimativa para o erro, vamos usar a forma de Lagrange:

R n x = f n + 1 z n + 1 ! x - c n + 1

Como usamos o polinômio de quarto grau, vamos encontrar o resto de quarto grau também! Já encontramos a quarta derivada de ln ⁡ 1 - x , mas precisamos da quinta derivada pra fórmula do resto. Como já encontramos:

f 4 ' x = - 6 1 - x 4

Derivando,

f 5 ' x = 24 x - 1 5

Por isso, o resto vai ser:

R 4 x = 24 z - 1 5 × 1 4 + 1 ! × x - 0 4 + 1

Arrumando,

R 4 x = x 5 5 z - 1 5

Esse valor z é um valor qualquer entre 0 e 1 2 . No ponto x = 1 2 :

R 4 1 2 = 1 32 × 1 5 z - 1 5

E como x está até 1 2 ,

R 4 1 2 < 1 32 × 1 5 1 2 - 1 5

R 4 1 2 < 0,2

Resposta

ln ⁡ 1 2 = - 0,682

R 4 1 2 < 0,2

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