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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14d

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x = 2 x e - 3 x  

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x = 2 x e - 3 x . - 3 + e - 3 x . 2 = - 6 x e - 3 x + 2 e - 3 x

f ' ' x =   - 6 x e - 3 x - 3 + e - 3 x - 6 + 2 e - 3 x - 3 = 18 x e - 3 x - 12 e - 3 x

Fazendo f ' ' x > 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

18 x e - 3 x - 12 e - 3 x > 0 ⇒ e - 3 x 18 x - 12 > 0 ⇒ 18 x - 12 > 0 ⇒ 18 x > 12 ⇒ x > 12 18 ⇒ x > 2 3  

Em 2 3 , + ∞ ,   f ' ' x > 0 ⇒ A função é côncava para cima.

Em - ∞ , 2 3     ,   f ' ' x < 0 ⇒ A função é côncava para baixo.

Passo 2

No ponto x = 2 3 , a função muda sua concavidade, logo é um ponto de inflexão.

2 3 , f 2 3   é   p o n t o   d e   i n f l e x ã o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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