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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14c

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x = 1 x + 4

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x = 0 . x + 4 - 1.1 x + 4 2 =   - 1 x + 4 2

f ' ' x =   - 0 x + 4 2 - 2 x + 4 . ( - 1 ) x + 4 4 = 2 ( x + 4 ) x + 4 4 = 2 x + 4 3

Fazendo f ' ' x > 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

2 x + 4 3 > 0 ⇒ x + 4 3 > 0 ⇒ x + 4 > 0 ⇒ x > - 4

Em - 4 , + ∞ ,   f ' ' x > 0 ⇒ A função é côncava para cima.

Em - ∞ ,   - 4     ,   f ' ' x < 0 ⇒ A função é côncava para baixo.

Passo 2

No ponto x = - 4 , a função não é definida, pois este valor zera o denominador e não existe divisão por zero. Logo - 4   n ã o   p e r t e n c e   D ( f ) .

A   f u n ç ã o   n ã o   t e m   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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