66. No noticiário nacional da televisão, o apresentador disse, “Aqui vão boas notícias! Este ano, os resultados dos testes de desempenho diminuiram a uma taxa menor”. Interprete a afirmação do apresentador em termos de uma função e suas primeira e segunda derivadas.

Passo 1

Show de bicicletinhas galera, vamos considerar a o resultado dos testes de desempenho como uma função f ( x ) . E a partir daí tirar as conclusões necessárias, vem comigo!

Passo 2

Beleza, o apresentador disse que os resultados estão diminuindo a uma taxa menor, e é aí que começa a malícia, porque a palavra “taxa” se refere a variação de alguma coisa, nesse caso, a variação dos resultados. Como a gente é sagaz, essa variação é dada pela primeira derivada, logo podemos reescrever a frase como

" o s   r e s u l t a d o s   e s t ã o   d i m i n u i n d o   a   u m a   p r i m e i r a   d e r i v a d a   m e n o r "

Quer dizer que nossa primeira derivada está diminuindo. E essa é uma informação sobre a segunda derivada, já que se isso está acontecendo quer dizer que f ' ' ( x ) é negativa

f ' ' x < 0

Passo 3

Iradoso né, então quer dizer que a segunda derivada é negativa, e quando isso acontece temos uma função f ( x ) que é côncava para baixo, mais ou menos assim

Ou seja, se pegarmos ponto a ponto seguindo a reta real x , as primeiras derivadas estrão diminuindo sucessivamente.E agora o outro detalhe é se a primeira derivada é negativa ou não. E com toda malandragem do mundo, podemos observar que a frase diz que “Aqui vai boas notícias”, e para ser uma boa notícia, o desempenho teria que estar melhorando, fazendo com que, por mais que a taxa esteja diminuindo em seu valor, ela ainda seja positiva. Se a taxa é positiva, quer dizer que a primeira derivada é positiva, e portanto

f ' x > 0

Resposta

f ' x > 0

f ' ' x < 0

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