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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 14f

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x = 4 x + 1 - 2 2 x 2 - 1  

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x = 4 2 x + 1 - 2 2 . 2 x = 2 x + 1 - 2 x

f ' ' x = 0 . x + 1 - 1 2 x + 1 . 2 x + 1 2 - 2 = - 1 x + 1 x + 1 - 2 = ( - 1 ) x + 1 - 3 2 - 2 = = - 1 - 2 x + 1 3 x + 1 3

Fazendo f ' ' x < 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

- 1 - 2 x + 1 3 < 0 ⇒ - 1 < 2 x + 1 3

O que ocorre para todo x ∈ D f .

Passo 2

Como a derivada de segunda ordem da função é sempre menor que zero, não existe ponto de inflexão e a função é côncava para baixo em todo o seu domínio .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada item, indique as coordenadas x dos pontos de inflexão de f. Dê razões para suas escolhas.(a) Esta curva é o gráfico de f.(b) Esta curva é o gráfico de f ' .(c) Esta curva é o gráfico de f ' '
Use o gráfico dado de f para encontrar o seguinte:O maior intervalo aberto no qual f é crescenteO maior intervalo aberto no qual f é decrescenteO maior intervalo aberto no qual f é côncava para cimaO
Use o gráfico dado de f para encontrar o seguinte:O maior intervalo aberto no qual f é crescenteO maior intervalo aberto no qual f é decrescenteO maior intervalo aberto no qual f é côncava para cimaO
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas. f ' x0 e f ' ' x0 para qualquer valor de x . f ' x0 e f ' ' x0 para qualquer valor de x .
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas f ' x0 f ' ' x0 para todo x f ' x0 f ' ' x0 para todo x