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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 9l

Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos da seguinte função, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

f x = x 2 16 - x    

Passo 1

Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Assim, derivando f ( x ) pela Regra do Produto e simplificando, temos que:

f ' x = 2 x 16 - x + x 2 1 2 16 - x - 1 = 2 x 16 - x - x 2 2 16 - x = 4 x 16 - x - x 2 2 16 - x =  

= 64 x - 5 x 2 2 16 - x

Lembre-se que a Regra do Produto é dada por: derivada do primeiro (primeira parcela) vezes o segundo (segunda parcela) mais a derivada do segundo (segunda parcela) vezes o primeiro (primeira parcela).

Passo 2

Igualando o resultado de f ' ( x ) a zero e simplificando, temos:

64 x - 5 x 2 2 16 - x = 0 ⇒ 64 x - 5 x 2 = 0 ⇒ x 5 x - 64 = 0

Assim, x = 0     e     x = 64 5 , são pontos críticos.

Passo 3

Pelo teste da primeira derivada, temos que:

f ' x = 6 4 x - 5 x 2 > 0

x   ∈ 0 , 64 5  

Portanto, x = 64 5 é ponto de máximo e x = 0 é ponto de mínimo.

Passo 4

Analisando o gráfico da função f ( x ) , temos que:

Logo, visualizamos que 64 5 é um ponto de máximo e 0 é um ponto de mínimo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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