Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado. f (x , y , z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(- 1 // 2) + ln (x y z) , (- 1 , 2 , - 2) Passo 1Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos! Para uma função diferenciável f (x , y , z) e um vetor unitário u = u_1 i + u_2 j + u_3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k Do enunciado temos a seguinte função: f (x , y , z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(- 1 // 2) + ln (x y z) Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que: {[[y = u^n -> y^' = n * u ' * u^(n - 1)],[y = ln u -> y^' = (u^')/(u)]]) Passo 2Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto (- 1 , 2 , - 2) . Para a derivada em relação a x temos: (del f)/(del x) = - (1)/(2) * 2 x * (x^2 + y^2 + z^2)^(- 1 // 2 - 1) + (y z)/(x y z) = - x (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (1)/(x) (del f)/(del x) = (1)/(x) - (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^(3 // 2)) = (1)/((- 1)) - ((- 1))/(((- 1)^2 + 2^2 + (- 2)^2)^(3 // 2)) (del f)/(del x) = - (26)/(27) Em relação a y : (del f)/(del y) = - (1)/(2) * 2 y * (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (x z)/(x y z) = - y (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (1)/(y) (del f)/(del y) = (1)/(y) - (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^(3 // 2)) = (1)/(2) - (2)/(((- 1)^2 + 2^2 + (- 2)^2)^(3 // 2)) (del f)/(del y) = (1)/(2) - (2)/(27) = (27 - 2 * 2)/(54) (del f)/(del y) = (23)/(54) E em relação a z : (del f)/(del z) = - (1)/(2) * 2 z * (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2) - 1) + (x y)/(x y z) = - z (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (1)/(z) (del f)/(del z) = (1)/(z) - (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^(3 // 2)) = (1)/((- 2)) - ((- 2))/(27) (del f)/(del z) = - (1)/(2) + (2)/(27) = (- 27 + 2 * 2)/(54) (del f)/(del z) = - (23)/(54) Sendo assim, nosso gradiente é: grad f = - (26)/(27) i + (23)/(54) j - (23)/(54) k Até mais pessoal. Resposta grad f = - (26)/(27) i + (23)/(54) j - (23)/(54) k MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios de Livros RelacionadosEm cerca de quantog(x, y, z) = x + x cos z - y sen z + y irá variar se o ponto P(x, y, z) se mover de P0 (2,1,0) a uma distância de ds = 0,2 unidade na direção de P1(0,1,2)?Variação de temperatura ao longo de uma curva espacial A temperatura em Celsius em uma região no espaço é dada por T(x, y, z) = 2x2 – xyz. Uma partícula está se movendo nessa região e sua posição no tf(x, y) = x^2 + xy + y^2, P_0(-1, 1)f(x, y) = x^2 * y + e^(x * y) * sen(y), P_0(1, 0)Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.f (x , y , z) = 2 z^3 - 3 (x^2 + y^2) z + tg^(- 1) x z , (1 , 1 , 1)Ver TambémVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Vetor GradienteVer exercício 14.5 - 7Ver exercício 14.5 - 3