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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 9

Nos Exercícios 7-10, encontre grad f no ponto dado.

f (x , y , z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(- 1 // 2) + ln (x y z) , (- 1 , 2 , - 2)

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

Para uma função diferenciável f (x , y , z) e um vetor unitário u = u_1 i + u_2 j + u_3 k no espaço, temos o seguinte vetor gradiente

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Do enunciado temos a seguinte função:

f (x , y , z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(- 1 // 2) + ln (x y z)

Para resolvermos as derivadas precisamos relembrar que:

{[[y = u^n -> y^' = n * u ' * u^(n - 1)],[y = ln u -> y^' = (u^')/(u)]])

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas da função f e já substituir o ponto (- 1 , 2 , - 2) . Para a derivada em relação a x temos:

(del f)/(del x) = - (1)/(2) * 2 x * (x^2 + y^2 + z^2)^(- 1 // 2 - 1) + (y z)/(x y z) = - x (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (1)/(x)

(del f)/(del x) = (1)/(x) - (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^(3 // 2)) = (1)/((- 1)) - ((- 1))/(((- 1)^2 + 2^2 + (- 2)^2)^(3 // 2))

(del f)/(del x) = - (26)/(27)

Em relação a y :

(del f)/(del y) = - (1)/(2) * 2 y * (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (x z)/(x y z) = - y (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (1)/(y)

(del f)/(del y) = (1)/(y) - (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^(3 // 2)) = (1)/(2) - (2)/(((- 1)^2 + 2^2 + (- 2)^2)^(3 // 2))

(del f)/(del y) = (1)/(2) - (2)/(27) = (27 - 2 * 2)/(54)

(del f)/(del y) = (23)/(54)

E em relação a z :

(del f)/(del z) = - (1)/(2) * 2 z * (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2) - 1) + (x y)/(x y z) = - z (x^2 + y^2 + z^2)^(- 3 // 2) + (1)/(z)

(del f)/(del z) = (1)/(z) - (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^(3 // 2)) = (1)/((- 2)) - ((- 2))/(27)

(del f)/(del z) = - (1)/(2) + (2)/(27) = (- 27 + 2 * 2)/(54)

(del f)/(del z) = - (23)/(54)

Sendo assim, nosso gradiente é:

grad f = - (26)/(27) i + (23)/(54) j - (23)/(54) k

Até mais pessoal.

Resposta

grad f = - (26)/(27) i + (23)/(54) j - (23)/(54) k

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