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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto.

f x ,   y = tg - 1 ⁡ x y ,     4 ,   - 2

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Do enunciado temos a seguinte função:

f x ,   y = tg - 1 ⁡ x y

Pela regra da derivada, temos:

y = tg - 1 ⁡ u → y ' = u ' 1 + u 2

Rearranjando nossa função para fazer a derivada:

f x ,   y = tg - 1 ⁡ x 1 / 2 ∙ y - 1

Então considerando u = x 1 / 2 ∙ y - 1 , sua derivada u ' será, em relação a x :

u ' = d u d x = 1 ∙ x 1 / 2 - 1 2 y = x - 1 / 2 2 y

u ' = d u d x = 1 2 x y

E em relação a y :

u ' = d u d y = - 1 ∙ x ∙ y - 2

u ' = d u d y = - x y 2

Passo 2

Sendo assim, para a derivada da função f em relação a x :

∂ f ∂ x = 1 2 x y 1 + x y 2 = 1 2 x y x y 2 + 1 = 1 2 x y x + y 2 y 2

∂ f ∂ x = 1 2 x y ∙ y 2 x + y 2 = y 2 2 x y x + y 2

∂ f ∂ x = y 2 x x + y 2

E em relação a y :

∂ f ∂ y = - x y 2 x + y 2 y 2 = - x y 2 ∙ y 2 x + y 2

∂ f ∂ y = - x x + y 2

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = y 2 x ∙ x + y 2 i - x x + y 2 j

Substituindo nosso ponto do enunciado 4 ,   - 2

∇ f = - 2 2 4 ∙ 4 + - 2 2 i - 4 4 + - 2 2 j

∇ f = - 1 16 i - 1 4 j

Passo 3

No ponto 4 ,   - 2 , temos:

f x ,   y = tg - 1 ⁡ x y = tg - 1 ⁡ 4 - 2

f x ,   y = - π 4

Ou seja:

tg - 1 ⁡ x y = - π 4

x y = tg ⁡ - π 4

x y = - 1

y = - x

y + x = 0

Elevando ambos os lados ao quadrado:

2 x + 3 y = 4

O esboço do gradiente junto com a nossa curva nível no ponto dado, temos:

Até mais pessoal.

Resposta

  • ∇ f = - ( 1 / 16 ) i - 1 / 4 j ;
  • y + x = 0 .

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