Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto.

g x ,   y = x y 2 ,     2 ,   - 1

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Do enunciado temos a seguinte função:

g x ,   y = x y 2

A derivada da função f em relação a x é:

∂ g ∂ x = y 2

E em relação a y :

∂ g ∂ y = 2 x y

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = y 2 i + 2 x y j

Substituindo nosso ponto do enunciado 2 ,   - 1 :

∇ f = - 1 2 i + 2 ∙ 2 ∙ - 1 j

∇ f = i - 4 j

Passo 2

No ponto 2 ,   - 1 , temos:

g x ,   y = x y 2 = 2 ∙ - 1 2

g x ,   y = 2

Ou seja:

x y 2 = 2

O esboço do gradiente junto com a nossa curva nível no ponto dado, temos:

Até mais pessoal.

Resposta

  • ∇ f = i - 4 j ;
  • x y 2 = 2 .

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