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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 2

Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t :

z = x 2 + y 2 ,   x = e 2 t   ,   y = e - 2 t

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Veja que temos a seguinte curva:

z = x 2 + y 2

E suas parametrizações:

x = e 2 t   ,   y = e - 2 t

E queremos encontrar o diferencial:

d z d t

A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas. Caso isso ocorra, é importante saber aplicar a regra da cadeia. De um jeito prático, pensamos em derivar a função de “fora” primeiro e seguimos com as que a compõem internamente.

Iremos na pratica realizar o seguinte:

d z d t =   ∂ z ∂ x . d x d t   + ∂ z ∂ y . d y d t

Então primeiro vamos calcular as derivadas de z com relação a x e y . Depois as derivadas de x e y com relação a t . E por fim substituir na regra da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de z com relação a x e y .

z = x 2 + y 2

Primeiro com relação a x e, sendo uma derivada parcial, consideramos y constante:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 1 2

∂ z ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x ⋅ ∂ g x ∂ g x

∂ z ∂ x = 2 x ⋅ 1 2 x 2 + y 2 - 1 2

Agora vamos calcular a derivada com relação a y , considerando x constante:

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 1 2

∂ z ∂ y = ∂ x 2 + y 2 ∂ y ⋅ ∂ g y ∂ g y

∂ z ∂ y = 2 y ⋅ 1 2 x 2 + y 2 - 1 2

Passo 3

Agora queremos as derivadas de x e y com relação a t . Então relembrando que:

x = e 2 t

d x d t = d d t e 2 t

Veja que aqui também aplicamos a regra da cadeia:

d x d t = 2 ⋅ e 2 t

Agora pra y :

  y = e - 2 t

d y d t = d e - 2 t d t

Temos então:

d y d t = - 2 ⋅ e - 2 t

Passo 4

Colocando tudo na nossa formula:

d z d t =   ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

d z d t = 1 2 x 2 + y 2 ⋅ 2 x ⋅ e 2 t ⋅ 2 + 1 2 x 2 + y 2 ⋅   2 y ⋅ - 2 e - 2 t

Simplificando a gente tem:

d z d t =   2 e 2 t x - 2 e - 2 t y x ² + y ²

Resposta

d z d t =   2 e 2 t x - 2 e - 2 t y x ² + y ²

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .7. z = x - y 5 ,x = s 2 t ,y = s t ² ²
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .5. w = x e y z ,x = t 2 ,y = 1 - t ,z = 1 + 2 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .6. w = ln ⁡ x 2 + y 2 + z ² ,x = s e nt ,y = cos ⁡ t ,z = tan ⁡ t ²
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .2. z = x - y x + 2 y ,x = e π t ,y = e - π t