Uma partícula se move no espaço com vetor posição r(t) . Determinar a velocidade e a aceleração da partícula em um instante qualquer. Esboçar a trajetória da partícula e os vetores velocidade e aceleração para os valores indicados de t .

b) r(t) = 1 / (1 + t) i + t j; t = 0; 1

Passo 1

Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!

O vetor posição é o seguinte:

r → t = 1 1 + t i → + t   j →

Então para acharmos a velocidade, basta derivarmos r → t . Derivando,

v → t = 1 1 + t '   i → + 1   j →

Isto é,

v → t = - 1 1 + t 2 i → + 1 j →

Passo 2

Para encontrarmos o vetor aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = - 1 1 + t 2 ' i → + 0 j →

A derivada desse primeiro termo fica o seguinte:

1 1 + t 2 ' = 1 + t - 2 '

Assim,

1 1 + t 2 ' = - 2 × 1 + t - 3

Então o vetor aceleração fica assim:

a → t = 2 1 + t 3 i → + 0 j →

Passo 3

Agora vamos encontrar da velocidade nos instantes t = 0 e t = 1 .

v → t = - 1 1 + t 2 i → + 1 j →

No instante t = 0 :

v → 0 = - 1 1 + 0 2 i → + 1 j →

Logo,

v → 0 = - 1 i → + 1 j →

No instante t = 1 :

v → 1 = - 1 1 + 1 2 i → + 1 j →

Isto é,

v → 1 = - 1 4 i → + 1 j →

Passo 4

Já para aceleração, temos o seguinte:

a → t = 2 1 + t 3 i → + 0 j →

Em t = 0 :

a → 0 = 2 i → + 0 j →

Em t = 1 :

a → 1 = 1 4 i → + 0 j →

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço da trajetória da partícula.

r → t = 1 1 + t i → + t   j →

Fazendo um esboço:

Resposta

Para qualquer instante t :

v → t = - 1 1 + t 2 i → + 1 j →

a → t = 2 1 + t 3 i → + 0 j →

Para t = 0 :

v → 0 = - 1 i → + 1 j →

a → 0 = 2 i → + 0 j →

Para t = 2 :

v → 1 = - 1 4 i → + 1 j →

a → 1 = 1 4 i → + 0 j →

Esboço da trajetória:

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