Determine dy.

y = e^(t \* g^(-1) \* raiz(x^2 + 1))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Primeiramente, sabemos que tg - 1 ⁡ x é a função inversa da função tg ⁡ x . A função arctg ⁡ x .

Vamos reescrever a função então...

y = e a r c t g   x 2 + 1

A derivada da exponencial é dada por ela mesma, vezes a derivada do expoente. A derivada da a c r t g   x é dada por a r c t g   x = 1 1 + x 2 e a derivada da raiz quadrada é dada por: 1 2 x

No nosso caso é uma função composta e usaremos a Regra da Cadeia. Vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y ' = e a r c t g   x 2 + 1   × ( a r c t g   x 2 + 1 '

Derivando a arco tangente...

y ' = e a r c t g   x 2 + 1   × 1 1 + x 2 + 1 2   × x 2 + 1 '

Derivando a raiz...

y ' = e a r c t g   x 2 + 1   × 1 1 + x 2 + 1 2   × 1 2 x 2 + 1 × ( x 2 + 1 ) '

E por fim...

y ' = e a r c t g   x 2 + 1   × 1 1 + x 2 + 1 2   × 1 2 x 2 + 1 × 2 x

Resposta

Assim, a derivada final é:

d y = y ' = e a r c t g   x 2 + 1   × 1 1 + ( x 2 + 1 )   × x x 2 + 1

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