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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.11 - Ex. 38

Determine dy.

y = e^(t g^(- 1) sqrt(x^2 + 1))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Primeiramente, sabemos que tg^(- 1) x é a função inversa da função tg x . A função arctg x .

Vamos reescrever a função então...

y = e^(a r c t g sqrt(x^2 + 1))

A derivada da exponencial é dada por ela mesma, vezes a derivada do expoente. A derivada da a c r t g x é dada por a r c t g x = (1)/(1 + x^2) e a derivada da raiz quadrada é dada por: (1)/(2 sqrt(x))

No nosso caso é uma função composta e usaremos a Regra da Cadeia. Vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y^' = e^(a r c t g sqrt(x^2 + 1)) xx ( a r c t g (sqrt(x^2 + 1)) '

Derivando a arco tangente...

y^' = e^(a r c t g sqrt(x^2 + 1)) xx (1)/(1 + (sqrt(x^2 + 1))^2) xx (sqrt(x^2 + 1)) '

Derivando a raiz...

y^' = e^(a r c t g sqrt(x^2 + 1)) xx (1)/(1 + (sqrt(x^2 + 1))^2) xx (1)/(2 (sqrt(x^2 + 1))) xx ( x^2 + 1 ) '

E por fim...

y^' = e^(a r c t g sqrt(x^2 + 1)) xx (1)/(1 + (sqrt(x^2 + 1))^2) xx (1)/(2 (sqrt(x^2 + 1))) xx 2 x

Resposta

Assim, a derivada final é:

d y = y^' = e^(a r c t g sqrt(x^2 + 1)) xx (1)/(1 + ( x^2 + 1 )) xx (x)/((sqrt(x^2 + 1)))

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