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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 82

Determine o underset(x -> oo)(l i m) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x)

Passo 1

Aplicamos a regra de L'Hôpital, multiplicando inicialmente pelo termo conjugado de sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x) que e sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x) . Assim:

underset(x -> oo)(l i m) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x) = underset(x -> oo)(l i m) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x) * (sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x))/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (x^2 - x + 1)/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x)) =

underset(x -> oo)(l i m) (x^2 - x + 1)/(sqrt(x^2 + 1) + sqrt(x)) = underset(x -> oo)(l i m) ((d)/(d x) (x^2 - x + 1))/((d)/(d x) (sqrt(x^2 + 1)) + (d)/(d x) (sqrt(x))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2 x)/((sqrt(x^2 + x))) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x)))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2 x)/(x (sqrt(1 + 1 // x))) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x))))

underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2 x)/(x (sqrt(1 + 1 // x))) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x)))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/((1)/(2) (2)/((1)) - (1)/(2) (1)/((sqrt(x)))) = underset(x -> oo)(l i m) (2 x - 1)/(2 - 0) = oo

Resposta

underset(x -> oo)(l i m) sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x) = oo

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Calculec) l i m_x - 0^+ x e^((1)/(x))
Calculeg) underset(x - 0^+)(lim) (1 - cos x) ln x
Calculeb) underset(x - 0^+)(lim) (x^2 + t g^3 x)/(s e n^3 x)
Calculen) underset(x - + oo)(lim) x^3 e^(- 4 x)
Calculei) underset(x - 0^+)(lim) [(1)/(x) + ln x]