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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.8 - Ex. 20

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. (Suponha que f e   g   denotem funções contínuas num intervalo [ a ,   b ] e que f m e g m denotem os respectivos valores médios de f e g em [ a ,   b ] . )

O valor médio de um múltiplo constante de f é o mesmo múltiplo de f m , ou seja, se c for uma constante qualquer,

c ⋅ f m = c ⋅ f m

Passo 1

Vamos usar a fórmula do valor médio de uma função para testar essa afimação:

f m 1 = 1 b - a ∫ a b f x d x

Vamos substituir f ( x ) por c ⋅ f ( x ) na fórmula:

f m 2 = 1 b - a ∫ a b c ⋅ f ( x ) d x

Podemos jogar a constante para a fora da integral:

f m 2 = c b - a ∫ a b f x d x = c   f m 1

Quando a gente usou c ⋅ f , chegamos em c f m , logo a afirmação é verdadeira. Repara que isso acontece porque a definição de valor médio usar integral e sabemos que:

∫ c ⋅ f d x = c ∫ f d x

Resposta

Verdadeira

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