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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 2

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa

  1. Se F for um campo vetorial, então rot F é um campo vetorial.

Passo 1

Faaaala turma, tudo beleza com vocês!?

Precisamos dizer se a seguinte afirmação é Falsa ou Verdadeira:

  1. Se F for um campo vetorial, então rot F é um campo vetorial.

Nessa questão devemos usar os conceitos de rotacional, pois ele menciona isso no comando da questão.

Aqui vamos usar a definição de rotacional para um campo vetorial:

F = F x i ^ + F y y ^ + F z k ^

O rotacional do campo é obtido através do determinante da seguinte matriz:

r o t   F = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

Sabendo disso, vou deixar o resto com você!

Bora lá!

Passo 2

Para você saber se o rotacional do campo F é um campo vetorial, basta você resolver o determinante e verificar se temos um vetor.

Lembre-se, que para termos um campo vetorial precisamos de um vetor.

Aplicando o determinante em:

r o t   F = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

Vamos ter:

r o t   F = ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z i ^ + ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x j ^ + ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y k ^

Bomm, agora repara que o rotacional também é um vetor. Porque ele também está em função de i ^ ,   j ^   e   k ^ .  

Resposta

VERDADEIRO

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Calcule ∫ γ 2 d x - d y , onde γ tem por imagem x 2 + y 2 = 4 , x ≥ 0 e y ≥ 0 ; o sentido de percurso é de 2,0 para 0,2 .
Calcule ∫ γ d x + y d y + d z onde γ é a interseção do plano y = x com a superfície z = x 2 + y 2 , z ≤ 2 , sendo o sentido de percurso do ponto - 1 , - 1,2 para o ponto 1,1 , 2 .
Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .
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