Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 3
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa
- Se tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre , então
Passo 1
Fala aí... vamos lá?
Nessa questão temos que verificar se isso aqui é verdade:
Quando é uma função com derivadas parciais de todas as ordens contínuas.
Bom, pra isso, vamos ter que lembrar da definição de gradiente (que é esse triângulo de cabeça pra baixo):
E do teorema que diz, que pra um campo vetorial , se têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então:
Vamos usar essas duas definições pra provar nossa afirmação!
Passo 2
Primeira coisa: se as derivadas parciais de são contínuas, é claro que o gradiente existe:
Só que a questão diz mais que isso... se as derivadas de de todas as ordens são contínuas, quer dizer que as derivadas dessas componentes de também tem derivadas de todas as ordens contínuas!
Vamos chamar:
Então se ,
E acabamos de ver que têm derivadas contínuas, que é a única condição pra aplicarmos o teorema:
Ou seja:
E provamos que a afirmação é verdadeira!
Resposta
VERDADEIRO