Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 36
36. Calcule o fluxo para fora de
Através do elipsoide .
Passo 1
Fala aí turminha, tudo beleza!?
Nessa questão precisamos calcular o fluxo para fora da superfície, do seguinte campo:
Onde a superfície é elipsoide:
Vamos lembrar que fluxo pode ser escrito como:
Uma integral dupla do campo na superfície .
Mas sabemos que uma integral de superfície orientada para fora, pode ser associada com o teorema do divergente. Que é o seguinte:
Onde o divergente é as derivadas de cada componente do campo :
Onde é escrito como:
Agora, o resto é com vocês! Vamos nessa turma!
Passo 2
Bom, vimos que a integral de superfície pode ser escrita como a integral tripla do divergente do campo vetorial .
Vamos começar determinando o divergente.
Sabemos que o divergente é:
E que é:
Logo, aplicando no divergente temos:
Haja paciência pra resolver todas essas derivadas, né... mas vamos fazendo aos poucos e com calma:
- Primeiro em relação a :
Lembrando da derivada do quociente e a regra da cadeia, temos:
Passo 3
E fazendo a mesma coisa vamos achar:
- em relação a :
- em relação a :
E somando tudo pra achar o divergente, repare que vai dar zero:
Passo 4
E usando, então o teorema do divergente:
E já que o divergente é zero, então o fluxo também é zero.