36. Calcule o fluxo para fora de F x , y , z = x i ^ + y j ^ + z k ^ x 2 + y 2 + z 2 3 2 Através do elipsoide 4 x 2 + 9 y 2 + 6 z 2 = 36 .

Enunciado

Fala aí turminha, tudo beleza!?

Nessa questão precisamos calcular o fluxo para fora da superfície, do seguinte campo:

Onde a superfície é elipsoide:

Vamos lembrar que fluxo pode ser escrito como:

Uma integral dupla do campo na superfície .

Mas sabemos que uma integral de superfície orientada para fora, pode ser associada com o teorema do divergente. Que é o seguinte:

Onde o divergente é as derivadas de cada componente do campo :

Onde é escrito como:

Agora, o resto é com vocês! Vamos nessa turma!

Bom, vimos que a integral de superfície pode ser escrita como a integral tripla do divergente do campo vetorial .

Vamos começar determinando o divergente.

Sabemos que o divergente é:

E que é:

Logo, aplicando no divergente temos:

Haja paciência pra resolver todas essas derivadas, né... mas vamos fazendo aos poucos e com calma:

- Primeiro em relação a :

Lembrando da derivada do quociente e a regra da cadeia, temos:

E fazendo a mesma coisa vamos achar:

- em relação a :

E somando tudo pra achar o divergente, repare que vai dar zero:

E usando, então o teorema do divergente:

E já que o divergente é zero, então o fluxo também é zero.