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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 17

Determine a área exata da superfície z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2 , 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Faala, beleza?

Essa questão pede pra gente calcular a área exata de uma superfície...

Vamos usar essa fórmula aqui:

A S = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d A

Onde S é a superfície determinada pelo gráfico de z = f x , y no domínio D .

Então vamos ver quem é f , pra calcular as derivadas parciais.

Depois, vamos definir o domínio D , pra transformar essa integral em integral iterada, e usar um software pra calcular (vou usar o WolframAlpha)!

Passo 2

A equação da área que o problema deu define quem é a função f :

f x , y = z = 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2

Calculamos as derivadas parciais.

De x , com y constante:

f x = ∂ 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2 ∂ x = 2

E em função de y , com x constante:

f y = ∂ 1 + 2 x + 3 y + 4 y 2 ∂ y = 3 + 8 y

Substituindo na integral:

A S = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d A

= ∬ D 1 + 2 2 + 3 + 8 y 2 d A

Então a integral que queremos calcular é:

A S = ∬ D 5 + 3 + 8 y 2 d A

Passo 3

Agora vamos olhar pro domínio pra transformar em integral iterada:

1 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ 1

Como já temos os limites das variáveis, a integral fica:

A S = ∫ 0 1 ∫ 1 4 5 + 3 + 8 y 2 d x d y

Agora vamos usar o WolframAlpha pra determinar o valor exato dessa integral:

Nossa resposta, então, fica:

A S = 15 16 6 14 + ln ⁡ 1 5 9 + 2 14

Que é a mesma coisa que:

A S = 45 8 14 + 15 16 ln ⁡ 9 + 2 14 5

Resposta

A S = 45 8 14 + 15 16 ln ⁡ 9 + 2 14 5

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