Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 31
Suponha que e sejam variáveis aleatórias, onde tem distribuição normal com média e desvio-padrão e tem distribuição normal com média e desvio-padrão .
(a) Encontre .
(b) Encontre .
Passo 1
Fala, gente bonita! Belezinha?
A questão tá falando pra gente de probabilidades bem louconas, mas não se preocupa.
Ela nos deu como uma variável aleatória, que tem:
(i) distribuição normal com média e desvio-padrão de
E para , também variável:
(ii) distribuição normal com média e desvio-padrão
E precisamos encontrar as seguintes probabilidades:
Pra resolver, vamos usar essa fórmula de função densidade de probabilidade:
Onde é a distribuição e é o desvio-padrão, belê?
Depois disso, vamos calcular integrais e achar o que os itens pedem.
Passo 2
Para , teremos
Para ,
Então, podemos escrever a função densidade conjunta delas assim:
Substituindo tudo na fórmula do item anterior, teremos
Agora, para resolvermos o item (a), podemos escrever a integral que calcula a probabilidade:
Onde essas informações nos serão os limites de integração para:
Se usarmos um CAS para calcular a integral, encontraremos:
Passo 3
Agora teremos, no item (b), novos limites de integração:
Esquisitinho, né? Podemos chamar essa região de , que configura-se como o interior de uma elipse, assim, ó:
Vamos tentar isolar para encontrar os limites de integração em :
Para encontrar os limites de integração em , note que os extremos em ocorrem à metade da altura da elipse. Ou seja, se o centro da elipse aqui é , então os extremos em ocorrem quando .
Substituímos isso na equação:
Ou seja, a integral vai ficar assim:
Utilizando um CAS (ainda bem), nós obtemos:
Resposta
(a)
(b)