Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 7
Determine a área da superfície.
A parte do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros e
Passo 1
Faaala, pessoal, beleza??
Nessa questão a gente precisa calcular a área de uma superfície.
A área do gráfico de uma função é:
Nossa estratégia pra resolver isso vai ser:
- Definir quem é , e calcular as derivadas parciais
- Descobrir o domínio e transformar essa integral em uma integral iterada
- Calcular a integral.
Passo 2
A superfície é parte de um paraboloide hiperbólico, então a função vai ser:
Calculando as derivadas parciais, começando com , mantendo constante:
Em função de , com constante:
A integral fica:
Então:
Passo 3
O domínio de integração é limitado pelos cilindros:
Ou seja:
Isso é uma região anular (entre duas circunferências de mesmo centro) no plano :
Então vamos fazer uma mudança de variáveis, usando coordenadas polares:
Como estamos entre uma circunferência de raio e outra de raio ,
E
Além disso, vamos lembrar que em coordenadas polares:
E que precisamos multiplicar o integrando pelo jacobiano:
Então:
Passo 4
Agora vamos resolver a integral, de dentro pra fora. Primeiro calculando em função de , considerando constante:
Vamos fazer uma substituição :
A integral fica assim:
Calculamos a primitiva de :
Então:
Colocamos em evidência pra fora da integral:
Como o integrando é constante, a integral fica:
E achamos o valor da área: