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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 4

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x , y | 0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b ; ρ x , y = 1 + x 2 + y 2

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos ver o que o enunciado está pedindo primeiro.

Ele quer que calculemos a massa da lâmina através da função densidade ρ ( x ,   y ) na região onde x varia de 0 até a e y varia de 0 até b . Podemos fazer isso resolvendo a integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

E uma lâmina é simplesmente qualquer figura plana. Ok?

Depois, calculamos o centro de massa com essa informação, usando essas fórmulas:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m

y - = ∬ D y ρ x , y d A m

Nessa etapa, vamos dividir pela massa, por isso precisamos calcular ela primeiro.

Vamos lá?

Passo 2

Vamos começar calculando a massa da nossa figura.

Temos:

m = ∬ D ρ x , y d A

Substituindo a função densidade:

m = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d A

Aquele d A depende das coordenadas que estamos usando. Como temos x e y fica:

m = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d x d y

Agora o D . Ele é a região em que x e y variam. E como vimos no passo 1, é:

m = ∫ 0 a ∫ 0 b ( 1 + x 2 + y 2 ) d y d x

Atenção aqui!!! Os limites precisam estar na ordem das variáveis. Se d y está no interior, o limite dele tem que estar na integral interior; se estiver fora, tem que estar na integral de fora.

Escolhi começar por y apenas por preferência. Poderia ter começado por x sem problemas.

Continuando, resolvendo a integral de dentro:

∫ 0 a ∫ 0 b ( 1 + x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 a y + x 2 y + y 3 3 0 b d x

∫ 0 a y + x 2 y + y 3 3 0 b d x = ∫ 0 a b + x 2 b + b 3 3 d x

Agora, resolvendo a integral em relação à x :

∫ 0 a b + b x 2 + b 3 3 d x =   b x + b x 3 3 + b 3 x 3 0 a

x b + b x 3 3 + b 3 x 3 0 a = a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Então, a massa é:

m = a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Passo 3

Vamos calcular a coordenada x - do centro de massa.

x - = ∬ D x ρ x , y d A m

Começando pela integral.

∬ D x ρ x , y d A

Aqui é parecido com o passo anterior, a única diferença na integral é que vamos multiplicar a função ρ por x . Mas os limites continuam os mesmos.

∬ D x ρ x , y d A   = ∫ 0 a ∫ 0 b x ( 1 + x 2 + y 2 ) d y d x

Aplicando a distributiva:

∫ 0 a ∫ 0 b x ( 1 + x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 a ∫ 0 b ( x + x 3 + x y 2 ) d y d x

Resolvendo a integral interna que é em relação à y :

∫ 0 a ∫ 0 b ( x + x 3 + x y 2 ) d y d x = ∫ 0 a x y + x 3 y + x y 3 3 0 b d x

∫ 0 a x y + x 3 y + x y 3 3 0 b d x = ∫ 0 a x b + x 3 b + x b 3 3 d x

Resolvendo a integral que sobrou:

∫ 0 a x b + x 3 b + x b 3 3 d x = x 2 b 2 + x 4 b 4 + x 2 b 3 6 0 a

x 2 b 2 + x 4 b 4 + x 2 b 3 6 0 a = a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6

Assim, a coordenada x - fica:

x - = a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 m

Substituindo a massa:

x - = a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Passo 4

Já para a coordenada y - , temos:

y - = ∬ D y ρ x , y d A m

Novamente, primeiro a integral

∬ D y ρ x , y d A

Onde estamos multiplicando ρ por y dessa vez:

∬ D y ρ x , y d A   = ∫ 0 a ∫ 0 b y ( 1 + x 2 + y 2 ) d y d x

Fazendo a distributiva:

∫ 0 a ∫ 0 b y ( 1 + x 2 + y 2 ) d y d x =   ∫ 0 a ∫ 0 b ( y + x 2 y + y 3 ) d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

∫ 0 a ∫ 0 b ( y + y x 2 + y 3 ) d y d x = ∫ 0 a y 2 2 + x 2 y 2 2 + y 4 4 0 b d x

∫ 0 a y 2 2 + x 2 y 2 2 + y 4 4 0 b d x = ∫ 0 a b 2 2 + x 2 b 2 2 + b 4 4 d x

Integrando em relação à x :

∫ 0 a b 2 2 + x 2 b 2 2 + b 4 4 d x = x b 2 2 + x 3 b 2 6 + x b 4 4 0 a

x b 2 2 + x 3 b 2 6 + x b 4 4 0 a = a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4

A coordenada fica, então:

y - = a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 m

Substituindo a massa:

y - = a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Passo 5

Por fim, expressamos as coordenadas x , y do ponto do centro de massa:

x , y = ( x - ,   y - )

x , y = a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 a b + a 3 b 3 + a b 3 3 , a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Pronto!

Conseguiu entender tudo certinho? Responde aí!

Resposta

Massa:

m = a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Centro de massa:

a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 a b + a 3 b 3 + a b 3 3 , a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

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