Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 9
Determine a área da superfície.
A parte da superfície que está dentro do cilindro
Passo 1
E aii, tudo bem??
Essa questão pede pra calcularmos a área de uma superfície, então a gente vai usar essa fórmula aqui:
Que calcula a área da superfície do gráfico em um domínio .
Então a gente precisa primeiro descobrir quem vai ser o , pra calcular as derivadas parciais.
Depois, vamos definir o domínio e calcular a integral!
Passo 2
Nossa superfície é definida por essa fórmula:
Então a função é:
Pra calcular as derivadas parciais, lembra que quando derivamos em função de uma variável, a outra é constante:
E
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Nosso domínio é limitado pelo cilindro
No plano , isso é um círculo:
Como temos uma região circular, vamos usar coordenadas polares:
Onde e
Com essas variáveis, temos:
Nunca esquece de incluir o jacobiano!!
Então, voltando pra integral:
Passo 4
Calculamos uma integral múltipla sempre de dentro pra fora:
Pra integrar em função de , vamos considerar constante.
Usamos a substituição :
Então:
A primitiva de é:
Voltando pra integral:
Agora vamos integrar em função de .
Como o integrando é constante, ele pode sair da integral, e calculamos:
Então, nossa área fica: