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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 9

Determine a área da superfície.

A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1

Passo 1

E aii, tudo bem??

Essa questão pede pra calcularmos a área de uma superfície, então a gente vai usar essa fórmula aqui:

A S = ∬ D f x 2 + f y 2 + 1   d A

Que calcula a área da superfície do gráfico z = f x , y em um domínio D .

Então a gente precisa primeiro descobrir quem vai ser o f , pra calcular as derivadas parciais.

Depois, vamos definir o domínio D e calcular a integral!

Passo 2

Nossa superfície é definida por essa fórmula:

z = x y

Então a função f é:

f x , y = x y

Pra calcular as derivadas parciais, lembra que quando derivamos em função de uma variável, a outra é constante:

f x = ∂ x y ∂ x = y

E

f y = ∂ x y ∂ y = x

Substituindo na fórmula:

A S = ∬ D f x 2 + f y 2 + 1   d A

A S = ∬ D x 2 + y 2 + 1   d A

Passo 3

Nosso domínio é limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1

No plano x y , isso é um círculo:

Como temos uma região circular, vamos usar coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

Onde 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π

Com essas variáveis, temos:

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = r 2

Nunca esquece de incluir o jacobiano!!

J = r

Então, voltando pra integral:

A S = ∬ D x 2 + y 2 + 1   d A

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 + 1 ∙ r d r d θ

Passo 4

Calculamos uma integral múltipla sempre de dentro pra fora: = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 + 1 ∙ r d r d θ =

Pra integrar em função de r , vamos considerar θ constante.

Usamos a substituição u = r 2 + 1 :

d u = 2 r d r ⇒ r d r = 1 2 d u

u 0 = 1

u 1 = 2

Então:

= ∫ 0 2 π ∫ 1 2 u ∙ 1 2 d r d θ =

A primitiva de u = u 1 2 é:

u 3 2 3 2 = 2 3 u 3 2

Voltando pra integral:

= ∫ 0 2 π 1 2 ∙ 2 3 u 3 2 1 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 1 3 ∙ 2 3 2 - 1 3 ∙ 1 3 2 d θ =

Agora vamos integrar em função de θ .

Como o integrando é constante, ele pode sair da integral, e calculamos:

= 1 3 ∙ 2 3 2 - 1 3 ∙ 1 3 2 ∫ 0 2 π d θ =

= 2 2 3 - 1 3 ∙ θ 0 2 π =

Então, nossa área fica:

A S = 2 π 3 2 2 - 1

Resposta

A S = 2 π 3 2 2 - 1

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