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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 14

Determine a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando a área em termos de integral de função de uma variável real e use sua calculadora para estimar o valor da integral.

A parte da superfície z = cos ⁡ x 2 + y 2 que está acima do círculo x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Escrevendo nossa f ( x , y ) ,

f x , y = z = cos ⁡ x 2 + y 2

Assim temos que

∂ z ∂ x =   - 2 x   s e n ( x 2 + y 2 )

e

∂ z ∂ y = - 2 y   s e n x 2 + y 2

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + 4 x 2 s e n 2 ( x 2 + y 2 ) + 4 y 2 s e n 2 ( x 2 + y 2 )

Usando coordenadas polares/cilíndricas, temos

1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 )

O Domínio é definido como

x 2 + y 2 = 1

Como é nosso círculo que define nossos limites, temos x 2 + y 2 = 1 → r M a x = 1

E que 0 ≤ θ ≤ 2 π

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 )   r   d r   d θ = 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 s e n 2 ( r 2 )   r   d r = 4.1073    

Resposta

A S = 4.1073      

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