Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Limitada pelos paraboloides z = 3 * x^2 + 3 * y^2 e z = 4 - x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, galera? Pra descobrir quais vão ser os limites de integração em r da integral que representa o volume, vamos igualar os valores de z das duas superfícies dadas pelo enunciado:

z = 3 x 2 + 3 y 2 = 4 - x 2 - y 2

3 r 2 = 4 - r 2

r 2 = 1

r = 1

Então teremos 0 ≤ r ≤ 1 . Agora vamos determinar a função a ser integrada:

f r ,   θ = 4 - r 2 - 3 r 2

f r ,   θ = 4 1 - r 2

Logo, nossa integral vai ficar assim:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 ( 1 - r 2 )   r   d r   d θ

Passo 2

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:

V = 4   ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r - r 3 d r = 4   θ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 = 4   .   2 π 1 2 - 1 4 = 2 π

Ok?

Resposta

2 π

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