Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.4 - Ex. 26

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Limitada pelos paraboloides z = 3 x 2 + 3 y 2 e z = 4 - x 2 - y 2

Passo 1

Beleza, galera? Pra descobrir quais vão ser os limites de integração em r da integral que representa o volume, vamos igualar os valores de z das duas superfícies dadas pelo enunciado:

z = 3 x 2 + 3 y 2 = 4 - x 2 - y 2

3 r 2 = 4 - r 2

r 2 = 1

r = 1

Então teremos 0 ≤ r ≤ 1 . Agora vamos determinar a função a ser integrada:

f r ,   θ = 4 - r 2 - 3 r 2

f r ,   θ = 4 1 - r 2

Logo, nossa integral vai ficar assim:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 ( 1 - r 2 )   r   d r   d θ

Passo 2

Podemos separar a integral no produto de duas integrais simples:

V = 4   ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r - r 3 d r = 4   θ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 0 1 = 4   .   2 π 1 2 - 1 4 = 2 π

Ok?

Resposta

2 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume aproximado do sólido no primeiro octante que é limitado pelos planos y = x , z = 0 e z = x e pelo cilindo y = cos ⁡ x . (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de int
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido delimitado pelos cilindros parabólicos y = 1 - x 2 e y = x 2 - 1 e pelos planos x + y + z = 2 , 2 x + 2 y - z + 10 = 0 .
Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido delimitado pelo paraboloide cilíndrico y = x 2 e pelos planos z = 3 y e z = 2 + y .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = 1 - x 2 - y 2 e z = 0 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 + y 2 e = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .