Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 18

Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm constante e quais têm constante.

Passo 1

Faaaaala turminha, beleza!?

Nosso objetivo é fazer uma correspondência entre as imagens e a parametrização:

E também, determinar quais famílias de curvas da grade têm constante e quais têm constante.

Vamos começar avaliando a equação paramétrica. Temos que:

Tá, mas e agora?

Uma dica para você resolver é avaliar a família de curvas, faça . Assim, avalie a família de curvas que vai ser gerada.

Repare que no plano , temos uma parametrização típica de um círculo.

Sabendo disso, eu quero que você faça essa comparação. Aí você vai compreender que temos um círculo de raio no plano , como o raio pode variar e pode assumir qualquer valor de u, vamos gerar algo parecido com a figura no plano .

Vamos resolver essa!! Bora lá!

Passo 2

Vamos começar avaliando a família de curvas.

Para achar as famílias de curvas da grade correspondente a constante, vamos substituir:

Onde, é uma constante.

Substituindo nas parametrizações, vamos ter:

Olhando para essa parametrização e comparando com a de um círculo:

Assim, concluímos que temos um círculo no plano de raio igual a:

Logo, a podemos dizer que a parametrização representa a família de circunferências paralelas ao plano com raio:

E olhando os gráficos , vemos que eles possuem curvas de grade circular paralelas ao plano .

Porém só o gráfico tem curvas de grade circular com raio , vemos também que o raio é quando , além de que quando cresce o raio decresce, e se torna zero quando é , o que pode ser visto no gráfico .