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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 6

Determine o jacobiano da transformação.

x = v + w^2 , y = w + u^2 , z = u + v^2

Passo 1

Vamos lá, temos que o jacobiano é da seguinte forma:

(del (x , y , z))/(del (u , v , w)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]|

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que (del x)/(del u) é a derivada de x em função de u :

(del x)/(del u) = (del)/(del u) (v + w^2) = 0

Temos que (del x)/(del v) é a derivada de x em função de v :

(del x)/(del v) = (del)/(del v) (v + w^2) = 1

E (del x)/(del w) é a derivada de x em função de w :

(del x)/(del w) = (del)/(del w) (v + w^2) = 2 w

Temos que (del y)/(del u) é a derivada de y em função de u :

(del y)/(del u) = (del)/(del u) (w + u^2) = 2 u

Temos que (del y)/(del v) é a derivada de y em função de v :

(del y)/(del v) = (del)/(del v) (w + u^2) = 0

E por ultimo (del y)/(del w) é a derivada de y em função de w :

(del y)/(del w) = (del)/(del w) (w + u^2) = 1

Temos que (del z)/(del u) é a derivada de z em função de u :

(del z)/(del u) = (del)/(del u) (u + v^2) = 1

Temos que (del z)/(del v) é a derivada de z em função de v :

(del z)/(del v) = (del)/(del v) (u + v^2) = 2 v

E por ultimo (del z)/(del w) é a derivada de z em função de w :

(del z)/(del w) = (del)/(del w) (u + v^2) = 0

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

(del (x , y , z))/(del (u , v , w)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]| = |[[0,1,2,w],[2,u,0,1],[1,2,v,0]]| = 0 + 1 + 8 u v w - 0 - 0 - 0 = 1 + 8 u v w

Resposta

(del (x , y , z))/(del (u , v , w)) = |[[0,1,2,w],[2,u,0,1],[1,2,v,0]]| = 1 + 8 u v w

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