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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 8

Determine a área da superfície.

A superfície z = (2)/(3) (x^((3)/(2)) + y^((3)/(2))) , 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A (S) = ∬_D sqrt(1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2) d A

Passo 2

Vamos conduzir nossa integral da seguinte forma.

(del z)/(del x) = sqrt(x)

e

(del z)/(del y) = sqrt(y)

então

A (S) = int_0^1 int_0^1 sqrt(1 + x + y) d x d y

Logo integrando primeiro em x ,

A (S) = int_0^1 (2)/(3) [(1 + x + y)^((3)/(2))]_0^1 d y = (2)/(3) int_0^1 [(2 + y)^((3)/(2)) + (1 + y)^((3)/(2))] d y

Agora integrando em y

A (S) = (2)/(3) [(2)/(5) [(2 + y)^((5)/(2)) + (1 + y)^((5)/(2))]_0^1] = (4)/(15) (3^((5)/(2)) - 2^((7)/(2)) + 1)

Resposta

A (S) = (4)/(15) (3^((5)/(2)) - 2^((7)/(2)) + 1)

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