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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 28

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ ( 2 n ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x n

Passo 1

Vamos lá pessoal! Temos que encontrar o raio e o intervalo de convergência para a série indicada acima. Ou seja, queremos encontrar os valores de x para que a série seja convergente.

∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ ( 2 n ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x n

Perceba que existe um elemento x o que caracteriza uma série de potência. Para calcular o raio de convergência devemos utilizar o teste da razão, e definir x como os valores que satisfazem a condição exigidas pelo teste da razão.Tudo certo por aqui? E qual é a condição exigida pelo teste da razão?

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então, primeiro iremos escrever nossa série de forma simplificada, e então calcularemos o limite para definir quais os valores de x fazem que a condição exposta acima seja verdadeira.Vamos começar?

Passo 2

Inicialmente, observem que a nossa série pode ser reescrita da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ ( 2 n ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ⋅ x n = ∑ n = 1 ∞ 2 n ! 2 n - 1 ! ⋅ x n

Reescrevemos então a nossa série a partir de fatoriais!

Aplicando o teste da razão teremos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Sendo que:

a n =   2 n ! 2 n - 1 !

Enquanto que:

a n + 1 = 2 ( n + 1 ) ! 2 ( n + 1 ) - 1 ! = 2 n + 2 ) ! 2 n + 1 !  

Passo 3

Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = 2 n + 2 ! ⋅ x n + 1 2 n + 1 ! ⋅ 2 n - 1 ! 2 n ! ⋅ x n = 2 n + 2 ⋅ 2 n ! ⋅ x 2 n + 1 ⋅ 2 n - 1 ! ⋅ 2 n - 1 ! 2 n !

2 n + 2 ⋅ x 2 n + 1

Agora,

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 ⋅ x 2 n + 1 = x < 1

Portanto, a série será convergente se - 1 < x < 1 . Consequentemente, o raio de convergência é 1.

Passo 4

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x = - 1 e x = 1 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando x = - 1 , temos a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! 2 n - 1 !

Lembrando da definição de fatorial podemos simplificar da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n 2 n - 1 ! 2 n - 1 ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n

Utilizando o seguinte teorema de séries:

∑ n = 1 ∞ c . a n = c ∑ n = 1 ∞ a n

Teremos:

2   . ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Fazendo texto do limite temos:

l i m n → ∞ - 1 n n =   - ∞  

Se o limite é diferente de zero esta série diverge. Portanto, não há convergência quando x = - 1

Passo 5

Já quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 2 n ! 2 n - 1 !

Aplicando as propriedades do fatorial

∑ n = 1 ∞ 2 n = 2   .   ∑ n = 1 ∞ n

Calculando o limite:

l i m n → ∞ n =   ∞

Novamente, esta série é divergente. Portanto, o intervalo de convergência da nossa série é.

- 1 < x < 1

Resposta

Raio de convergência é 1. O intervalo de convergência é - 1 < x < 1 .

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