Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 24
Use o Teorema do Divergente para calcular onde é a esfera .
Passo 1
Fala, meus amigos! Tudo bem?
A questão pede para usarmos o Teorema do Divergente para calcular:
Onde é a esfera
O Teorema do Divergente diz que:
Ou seja, o fluxo de pela fronteira de �� igual a integral tripla da divergência de sobre a mesma fronteira . Comparando o lado esquerdo do Teorema com o enunciado temos que:
Então:
Então, nós vamos precisar calcular o divergente de dado por:
E calcular nossa integral tripla com base na superfície que o enunciado nos deu!
Vamo lá!
Passo 2
Vamos começar a questão procurando a função :
Temos então que:
Calculando , temos que o vetor normal em uma esfera é o vetor posição:
Dividindo pelo módulo, para nos certificar que ele é unitário:
Como nossa equação da esfera é:
Substituímos na raiz do denominador:
Agora que temos podemos achar Assim, temos que :
Como temos que:
Vamos comparar isso com:
Vamos ter então que:
Assim achamos finalmente nossa função :
Passo 3
Vamos agora calcular :
Substituindo:
Temos:
Substituindo na nossa integral:
Bom, nem precisamos dos limites de integração, já que a integral tripla do elemento é o volume da superfície. Nossa superfície é a esfera de equação:
então:
O volume da esfera é dado por:
Então:
Finalmente, ficamos com: