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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 57

Determine a área total entre a região e o eixo x.

y = - x^2 - 2 x , - 3 <= x <= 2

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f (x) = 0 => - x^2 - 2 x = 0 => - x (x + 2) = 0

x ' = 0 x ' ' = - 2

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim para f <= 0 , [ - 3 , - 2 ] e para f >= 0 [- 2,2] :

int_(- 3)^(- 2) (- x^2 - 2) d x = [(x^3)/(3) - x^2] (- 2)/(- 3) = [(8)/(3) - 4] - [(27)/(3) - 9] = - (4)/(3)

int_(- 2)^2 (- x^2 - 2 x) d x = [- (x^3)/(3) - x^2] (2)/(- 2) = [- (8)/(3) - 4] - [(8)/(3) - 4] = - (20)/(3) - (24)/(3) = - 6

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = |- (4)/(3)| + |- 6| = (28)/(3)

Resposta

(28)/(3)

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