Determine a área total entre a região e o eixo x.

y = -x^2 - 2x, -3 <= x <= 2

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f x = 0 ⇒   - x 2 - 2 x = 0 ⇒   - x x + 2 = 0

x ' = 0               x ' ' = - 2  

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim para f ≤ 0 ,   [ - 3 , - 2 ] e para f ≥ 0   - 2,2 :

∫ - 3 - 2 - x 2 - 2 d x = x 3 3 - x 2 - 2 - 3 = 8 3 - 4 - 27 3 - 9 =   - 4 3

∫ - 2 2 - x 2 - 2 x d x = - x 3 3 - x 2 2 - 2 = - 8 3 - 4 - 8 3 - 4 =   - 20 3 - 24 3 =   - 6

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = - 4 3 + - 6 = 28 3

Resposta

28 3

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