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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 59

Determine a área total entre a região e o eixo x.

y = x^3 - 3 x^2 + 2 x , 0 <= x <= 2

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f (x) = 0 => x^3 - 3 x^2 + 2 x = 0 => x (x^2 - 3 x + 2) = 0 => x ( x - 2 ) ( x - 1 ) = 0

x^' = 0 x^(' ') = 1 x^(' ' ') = 2

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim, para f <= 0 [0,1] e para f >= 0 [1,2] :

int_0^1 (x^3 - 3 x^2 + 2 x) d x = [(x^4)/(4) - x^3 + x^2] (1)/(0) = [(1)/(4) - 1 + 1] - [0] = (1)/(4)

int_1^2 (x^3 - 3 x^2 + 2 x) d x = [(x^4)/(4) - x^3 + x^2] (2)/(1) = [4 - 8 + 4] - [(1)/(4) - 1 + 1] = 0 - (1)/(4) = - (1)/(4)

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = |(1)/(4)| + |- (1)/(4)| = |(2)/(4)| = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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