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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 42

Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44.

y = x 5 120

Passo 1

O exercício pede para obter as derivadas de todas as ordens de f x . Como f x é um polinômio, temos que derivar até obtermos a derivada igual a 0 . Assim, vamos começar obtendo a derivada de ordem 1 de f ( x ) :

y ' = x 5 120 '

y ' = 5 120 x 5 - 1

y ' = 1 24 x 4

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 2:

y ' ' = y ' '

y ' ' = x 4 24 '

y ' ' = 4 24 x 4 - 1

y ' ' = 1 6 x 3

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

y ' ' ' = 1 6 x 3 '

y ' ' ' = 3 6 x 3 - 1

y ' ' ' = 1 2 x 2

Passo 4

Para obter a derivada de ordem 4:

y ' ' ' ' = 1 2 x 2 '

y ' ' ' ' = 2 2 x 2 - 1

y ' ' ' ' = x

Passo 5

Derivando mais uma vez

y ' ' ' ' ' = x '

y ' ' ' ' ' = 1 x 1 - 1

y ' ' ' ' ' = 1

Passo 6

O que vamos fazer agora? Derivar mais uma vez, rs:

y ' ' ' ' ' ' = 1 '

y ' ' ' ' ' ' = 0

Assim,

y n = 0

Resposta

y ' = 1 24 x 4

y ' ' = 1 6 x 3

y ' ' ' = 1 2 x 2

y ' ' ' ' = x

y ' ' ' ' ' = 1

y ( n ) = 0 ,   n ≥ 6

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