Determine a área total entre a região e o eixo x.

y = 3x^2 - 3, -2 <= x <= 2

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f x = 0 ⇒   3 x 2 - 3 = 0 ⇒   3 x 2 - 1 = 0 ⇒ x 2 - 1 = 0 ⇒ x =   ± 1

x ' = 1               x ' ' = - 1  

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim, para f ≥ 0   :   - 2 , - 1 e 1,2 e para f ≤ 0 : - 1,1 :

∫ - 2 - 1 3 x 2 - 3 d x = x 3 - 3 x - 1 - 2 = - 1 + 3 - - 8 + 6 =   4

∫ - 1 1 3 x 2 - 3 d x = x 3 - 3 x 1 - 1 = 1 - 3 - - 1 + 3 =   - 4

∫ 1 2 3 x 2 - 3 d x = x 3 - 3 x 2 1 = 8 - 6 - 1 - 3 =   4

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = 4 + - 4 + 4 = 12

Resposta

12

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