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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 58

Determine a área total entre a região e o eixo x.

y = 3 x^2 - 3 , - 2 <= x <= 2

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f (x) = 0 => 3 x^2 - 3 = 0 => 3 (x^2 - 1) = 0 => x^2 - 1 = 0 => x = +- 1

x ' = 1 x ' ' = - 1

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim, para f >= 0 : [- 2 , - 1] e [1,2] e para f <= 0 : [- 1,1] :

int_(- 2)^(- 1) (3 x^2 - 3) d x = [x^3 - 3 x] (- 1)/(- 2) = [- 1 + 3] - [- 8 + 6] = 4

int_(- 1)^1 (3 x^2 - 3) d x = [x^3 - 3 x] (1)/(- 1) = [1 - 3] - [- 1 + 3] = - 4

int_1^2 (3 x^2 - 3) d x = [x^3 - 3 x] (2)/(1) = [8 - 6] - [1 - 3] = 4

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = |4| + |- 4| + |4| = 12

Resposta

12

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