Encontre os limite:

lim θ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ θ θ 2

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

lim θ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ θ θ 2 = 1 - cos ⁡ 0 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com θ indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chegar no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico só funciona se aparecer um seno ali né?

Vamos multiplicar pelo conjugado de 1 - cos ⁡ θ :

1 - cos ⁡ θ θ 2 = 1 - cos ⁡ θ θ 2 1 + cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ θ 2 1 + cos ⁡ θ

Lembrando que:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Vamos ter:

sen 2 ⁡ θ θ 2 1 + cos ⁡ θ

E apareceu o nosso seno ali.

Vamos separar o termo do limite fundamental.

sen 2 ⁡ θ θ 2 1 + cos ⁡ θ = sen 2 ⁡ θ θ 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ θ = sen ⁡ θ θ 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ θ

Passo 2

Voltando com aquela expressão para o limite:

lim θ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ θ θ 2 = lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ θ

Pelas prórpriedades de limites, podemos fazer:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ 2 ∙ lim θ → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ θ

O primeiro é o limite fundamental trigonométrico.

Assim, vamos acaba com:

lim θ → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ θ θ 2 = lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ 2 ∙ lim θ → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ θ = 1 2 ∙ 1 2 1 + cos ⁡ 0 = 1 ∙ 1 1 = 1

Resposta

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