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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 75

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 71-76.

d 2 s d t 2 = - 4 sin ⁡ 2 t - π 2 ,   s ' 0 = 100 ,   s 0 = 0  

Passo 1

Vamos começar passando pro outro lado o d t :

∫ d d s d t = ∫ - 4 sin ⁡ 2 t - π 2 d t

s ' = - 4 ∫ sin ⁡ 2 t - π 2 d t

Calculando a integral:

s ' = - 4 ∫ sin ⁡ 2 t - π 2 d t = - 4 - cos ⁡ 2 t - π 2 2 t - π 2 ' + C

s ' = - 4 - cos ⁡ 2 t - π 2 2 + C = 2 cos ⁡ 2 t - π 2 + C

Substituindo o ponto dado na função:

s ' 0 = 100 = 2 cos ⁡ 2 ∙ 0 - π 2 + C

C = 100 - 2 cos ⁡ - π 2 = 100

Passo 2

Agora vamos passar de novo pro outro lado o d t :

∫ d s = ∫ 2 cos ⁡ 2 t - π 2 + 100 d t

Separando os dois termos:

s = 2 ∫ cos ⁡ 2 t - π 2 d t + ∫ 100 d t

Em seguida, calculamos a integral:

s = 2 ∫ cos ⁡ 2 t - π 2 d t + ∫ 100 d t = 2 sin ⁡ 2 t - π 2 2 t - π 2 ' + 100 t + K

s = 2 sin ⁡ 2 t - π 2 2 + 100 t + K = sin ⁡ 2 t - π 2 + 100 t + K

Substituindo o ponto dado na função:

s 0 = 0 = sin ⁡ 2 ∙ 0 - π 2 + 100 ∙ 0 + K

K = - sin ⁡ - π 2 = 1

Fim!!!

Resposta

s = sin ⁡ 2 t - π 2 + 100 t + 1

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