Use a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

h x = ∫ 0 x 2 1 + r 3   d r

Passo 1

Oie, belezinha? Nessa questão, queremos encontrar a derivada da função

h x = ∫ 0 x 2 1 + r 3   d r ,  

usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

🤔 Mas o que essa tal de Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz mesmo?

Basicamente, ela fala que sempre que uma função h é obtida integrando uma função g , então a derivada da função h é a função g !

Mas precisamos tomar cuidado!

De forma precisa, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que se

h x =   ∫ a x g t d t ,

então h ' x = g x .

⚠️Perceba que isso não é exatamente o que temos na função h , pois temos uma diferença no limite superior de integração. No caso do Teorema, o limite superior é x , enquanto no caso do exercício, ele é x 2 , né?

Para lidarmos com isso, vamos definir uma função conveniente que irá nos ajudar no cálculo da derivada que estamos procurando.

🛠️Antes disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Regra da Cadeia: sejam f e g funções deriváveis, então
  • f ∘ g ' x = f ' g x g ' x .

  • Regra da Potência: Para todo n , a derivada de x n é

x n ' = n x n - 1 .

Agora, vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão!

Passo 2

Perceba que como

h x = ∫ 0 x 2 1 + r 3   d r ,  

então definindo a função

f x =   ∫ 0 x 1 + r 3   d r

e usando a Parte 1 de Teorema Fundamental, vamos ter que a derivada f ' é dada por

f ' x = 1 + x 3 ,

certo?

Mas pensa o seguinte: se avaliarmos a função f em x 2 , temos que

f x 2 =   ∫ 0 x 2 1 + r 3   d r = h x .

Com isso, calcular a derivada de h ' é a mesma coisa do que calcular a derivada da função composta f ∘ g , onde g x = x 2 , ou seja,

f ∘ g ' x = f ' x 2 x 2 ' .

Vamos ver como fazer isso no próximo passo!

Passo 3

Como vimos no Passo anterior, a derivada de f é

f ' x = 1 + x 3 ,

e temos também que a derivada de x 2 , usando a Regra da Potência, é

x 2 ' = 2 x .

Então, pela Regra da Cadeia, vamos ter que

h ' x = f ' x 2 x 2 ' ,

ou seja, substituindo as derivadas,

h ' x = 1 + x 6 ⋅ 2 x .

Dessa forma, a função h ' procurada é dada por:

h ' x = 2 x 1 + x 6 .

Resposta

A derivada da função

h x = ∫ 0 x 2 1 + r 3   d r  

é

h ' x = 2 x 1 + x 6 .

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