Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 14
Use a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
Oie, belezinha? Nessa questão, queremos encontrar a derivada da função
usando a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
🤔 Mas o que essa tal de Parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz mesmo?
Basicamente, ela fala que sempre que uma função é obtida integrando uma função , então a derivada da função é a função
Mas precisamos tomar cuidado!
De forma precisa, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que se
então
⚠️Perceba que isso não é exatamente o que temos na função , pois temos uma diferença no limite superior de integração. No caso do Teorema, o limite superior é , enquanto no caso do exercício, ele é né?
Para lidarmos com isso, vamos definir uma função conveniente que irá nos ajudar no cálculo da derivada que estamos procurando.
🛠️Antes disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:
- Regra da Cadeia: sejam e funções deriváveis, então
- Regra da Potência: Para todo , a derivada de é
Agora, vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão!
Passo 2
Perceba que como
então definindo a função
e usando a Parte de Teorema Fundamental, vamos ter que a derivada é dada por
certo?
Mas pensa o seguinte: se avaliarmos a função em , temos que
Com isso, calcular a derivada de é a mesma coisa do que calcular a derivada da função composta onde , ou seja,
Vamos ver como fazer isso no próximo passo!
Passo 3
Como vimos no Passo anterior, a derivada de é
e temos também que a derivada de , usando a Regra da Potência, é
Então, pela Regra da Cadeia, vamos ter que
ou seja, substituindo as derivadas,
Dessa forma, a função procurada é dada por:
Resposta
A derivada da função
é