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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.13 - Ex. 26

Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = arcsen ⁡ x , y = π 2   e   x = 0

Passo 1

Devemos começar as questões que pedem para calcularmos a área de uma região sempre pelo esboço dessa região. Se não esboçarmos ele, não conseguiremos compreender a integral que devemos calcular. Sendo assim, vejamos a região abaixo:

Como esta região é limitada acima e abaixo por uma curva, a área é dada pela seguinte integral:

A = ∫ 0 1 π 2 - arcsen ⁡ x d x

Passo 2

Agora que conseguimos escrever a integral que nos dá a área, só nos resta calculá-la. Portanto, temos:

∫ 0 1 π 2 - arcsen ⁡ x d x

Para resolvermos esta integral, precisamos utilizar a técnica de integração por partes. Para isto, vamos fazer u = arcsen ⁡ x e d v = d x . Consequentemente, temos d u = d x / 1 - x 2 e v = x . Portanto, relembrando que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Temos:

∫ arcsen ⁡ x = x arcsen ⁡ x - ∫ x 1 - x 2 d x = x arcsen ⁡ x + 1 - x 2 + c

Voltando a nossa integral definida, temos:

π 2 x - x arcsen ⁡ x - 1 - x 2 0 1 = π 2 - π 2 - 0 - 0 - 0 - 1

1

Portanto, a área da nossa região é:

A = 1   u . a .

Resposta

A = 1   u . a .

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