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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 22

Determine as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 21 e 22 em torno dos eixos indicados.

x = t 2 + 1 2 t   e   y = 4 t ; 1 2 ≤ t ≤ 1 ; e i x o   y

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre áreas de superfícies.

Podemos determinar a área da superfície pedida, como uma revolução em torno do eixo x, utilizando:

A = ∫ t 1 t 2 2 π x d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para isso, vamos derivar x em relação a t:

d x d t = 2 t - 1 2 t 2

De modo que:

d x d t 2 = 2 t - 1 2 t 2 2 = 4 t 2 - 2 t + 1 4 t 4

De forma similar, vamos derivar y em relação a t:

d y d t = 2 t - 1 / 2

De modo que:

d y d t 2 = 2 t - 1 / 2 2 = 4 t - 1 = 4 t

Passo 2

Daí, temos que:

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 t 2 - 2 t + 1 4 t 4 + 4 t = 4 t 2 + 2 t + 1 4 t 4 = 2 t + 1 2 t 2 2

Aplicando na equação da área da superfície, teremos que:

A = ∫ 1 / 2 1 2 π t 2 + 1 2 t 2 t + 1 2 t 2   d t = ∫ 1 / 2 1 2 π 2 t 3 + 1 2 + 1 + 1 4 t 3 d t =

= 2 π ∫ 1 / 2 1 2 t 3 + 3 2 + 1 4 t 3 d t = 2 π 1 2 t 4 + 3 2 t - 1 8 t 2 | 1 / 2 1

Logo:

A = 2 π 1 2 ∙ 1 4 + 3 2 ∙ 1 - 1 8 ∙ 1 2 - 1 2 ∙ 1 2 4 + 3 2 ∙ 1 2 - 1 8 ∙ 1 2 2 =

= 2 π 1 2 + 3 2 - 1 8 - 1 8 + 3 2 2 - 1 4 = 2 π 15 8 + 1 8 - 3 2 4 = 2 π 2 - 3 2 4

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

2 π 2 - 3 2 4

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