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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 3b

Calcule

int_0^2 (1)/(sqrt(2 - x)) d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 2 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

int_0^2 (1)/(sqrt(2 - x)) d x = underset(t -> 2)(lim) int_0^t (1)/(sqrt(2 - x)) d x

Passo 2

Agora vamos calcular a integral normalmente, usando a substituição

{[[u = 2 - x],[d u = - d x]])

E os limites

{[[u (0) = 2],[u (t) = 2 - t]])

underset(t -> 2)(lim) int_0^t (1)/(sqrt(2 - x)) d x = underset(t -> 2)(lim) int_2^(2 - t) (- 1)/(sqrt(u)) d u

= underset(t -> 2)(lim) int_2^(2 - t) - u^(- 1 // 2) d u = underset(t -> 2)(lim) [- (u^(1 // 2))/(1 // 2)]_2^(2 - t)

= underset(t -> 2)(lim) [- 2 sqrt(u)]_2^(2 - t)

Passo 3

Substituindo os limites de integração

underset(t -> 2)(lim) [- 2 sqrt(u)]_2^(2 - t) = underset(t -> 2)(lim) [- 2 sqrt(2 - t) + 2 sqrt(2)]

= 2 sqrt(2)

Resposta

2 sqrt(2)

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