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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 36

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aqueles que são convergentes.

∫ 0 4 d x x 2 - x - 2

Passo 1

Bom galera, a gente tem a integral:

∫ 0 4 d x x 2 - x - 2 = ∫ 0 4 d x x + 1 x - 2

A função dentro da integral é descontinua nos pontos x = - 1 e x = 2 , então a gente vai separar em frações parciais:

∫ 0 4 d x x + 1 x - 2 = ∫ 0 4 1 3 x + 1 + - 1 3 x - 2 d x

= ∫ 0 4 1 3 x + 1 - 1 3 x - 2 d x

Passo 2

Beleza, a gente já pode integrar em duas partes, bem assim:

∫ 0 4 1 3 x + 1 - 1 3 x - 2 d x

= lim a → 2 - ⁡ ∫ 0 a 1 3 x + 1 - 1 3 x - 2 d x + lim b → 2 + ⁡ ∫ b 4 1 3 x + 1 - 1 3 x - 2 d x

Integrando dos dois lados:

= lim a → 2 - ⁡ 1 3 - ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 2 + C 0 a + lim b → 2 + ⁡ 1 3 - ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 2 + C b 4

Passo 3

Show de bola, agora a gente vai calcular nossos limites:

lim a → 2 - ⁡ 1 3 - ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 2 + C 0 a + lim b → 2 + ⁡ 1 3 - ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 2 + C b 4

= 1 3 - ln ⁡ 3 - ∞ - ln ⁡ 2 + 1 3 - ln ⁡ 5 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + ∞

= 1 3 - ∞ + ∞ = ∞

Pronto galera, então a gente já sabe que a integral diverge.

Resposta

Diverge

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Calculeb)∫ - 1 1 1 | x |d x
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