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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.2 - Ex. 5

  1. Seja F(x) = ∫ 0 x f t d t       o n d e   f t =   { 2         s e     t   =   1 1         s e     t   ≠   1
  1. Verifique que F'(x) = f(x) em todo x em que f for contínua.
  2. F é derivável em x = 1? Em caso afirmativo, calcule F'(1) e compare com f(1).

Passo 1

Em integrais temos essa propriedade,

∫ a b f x d x = ∫ a b f x d x + ∫ b c f ( x ) d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

F x = ∫ 0 x f t d t → ∫ 0 x d t       s e   t ≠ 1 2                       s e   t = 1

Passo 3

Resolvendo...

a)

∫ 0 x d t = t | 0 x = x - 0 = x

  F ' x = f x ?

  F ' x = t ' = 1                             s e       x ≠ 1

b)

  F ' 1   =     ?

F'(1) = 1

f(1) = 2

F'(1) ≠ f(1)

Resposta

  1. F x = x ,   x ∈ I R ;

    2. F ' x = f x   p a r a   x ≠ 1

  2. Sim, F'(1) ≠ f(1).
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