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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.2 - Ex. 4

  1. Seja F(x) = ∫ 0 x f t d t       o n d e   f t =   { 2 t         s e     t   ≥   1 t 2     s e     t   <   1
  1. Verifique que F'(x) = f(x) em todo x em que f for contínua.
  2. F é derivável em x = 1?

Passo 1

Em integrais temos essa propriedade,

∫ a b f x d x = ∫ a b f x d x + ∫ b c f ( x ) d x

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

F x = ∫ 0 x f t d t → ∫ 0 x t 2 d t       s e   t ≤ 1 ∫ 0 1 t 2 d t + ∫ 1 x 2 t d t       s e   t > 1

Passo 3

Resolvendo...

a)

∫ 0 x t 2 d t = t 3 3 | 0 x = x 3 3 - 0 = x 3 3

∫ 0 1 t 2 d t + 2 ∫ 1 x 1 t d t = t 3 3 | 0 1 + 2 l n t | 1 x = 1 3 + 2 l n x - 2 l n 1 = 1 3 + 2 l n x

  F ' x = f x ?

  F ' x = x 3 3 ' = 3 x 2 3 = x 2                               s e       x < 1

F ' x = 1 3 + 2 l n x ' = 2 * 1 x = 2 x           s e   x > 1

b)

  F ' 1   =     ?

Vamos verificar se os limites laterais existem em x = 1

lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x 3 3 - 1 3 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x 3 - 1 3 ( x - 1 ) = lim x → 1 - ⁡ ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 3 ( x - 1 ) = lim x → 1 - ⁡ x 2 + x + 1 3 = 3 3 = 1

lim x → 1 + ⁡ 1 3 + 2 l n x - 1 3 - 2 l n 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 2 l n x x - 1 = por   L ' Hospital   = 2 * lim x → 1 + ⁡ 1 x 1 - 0 = 2 * lim x → 1 + ⁡ 1 x = 2 * 1 1 = 2 * 1 = 2

Como o limite não existe, a derivada no ponto não é possível.

Resposta

  1. F x = x 3 3           s e   x ≤ 1 1 3 + 2 l n x         s e   x > 1                 F ' x = x 2         s e   x < 1 2 x           s e   x > 1

  2. Não, pois o limite lateral não resulta no mesmo valor.
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Calculeb) ∫ - 1 x f t d t onde f t = t 2s e- 1 ≤ t ≤ 12s et1
Calculed)∫ 0 x f t d t onde f t = 1s e0 ≤ t1 2s e1 ≤ t2 3s et ≥ 2
Calculec) ∫ - 1 3 f x d x ondef x = x 1 + x 2s e x ≠ 1 5s ex = 1