Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 47
Use séries para calcular o limite.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Preparados para resolver um problema de usando séries para calcular limites?!
Vamos começar analisando o limite fornecido na questão:
Nosso objetivo é calcular esse limite utilizando a expansão em série da função . Para isso, vamos substituir por sua série de Taylor. A estratégia envolve encontrar a série de Taylor de em torno de , simplificar a expressão resultante e aplicar o limite.
Primeiramente, derivaremos a função para encontrar a série de sua derivada. Em seguida, integraremos essa série para obter a série de e substituiremos na expressão do limite. Por fim, simplificaremos e aplicaremos o limite para encontrar o valor desejado.
Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função :
Reconhecendo que a expressão pode ser expandida como uma série geométrica:
Agora, integrando ambos os lados para obter a série de :
Para encontrar a constante , vamos calcular com :
Portanto, a série de é:
Passo 3
Substituindo a série de na expressão do limite:
Simplificando o numerador:
Colocando em evidência no numerador:
Passo 4
Agora, aplicamos o limite. À medida que , todos os termos contendo desaparecem, exceto o primeiro termo:
Portanto, o limite é: