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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.1 - Ex. 24

Determine o campo vetorial gradiente de f .

f (x , y , z) = x cos ((y)/(z))

Passo 1

Galera, lá da teoria a gente sabe que o campo vetorial gradiente de f será o seguinte:

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Então, é só calcular as derivadas parciais de f .

Passo 2

f (x , y , z) = x cos ((y)/(z))

Para f_x , temos:

(del f)/(del x) = cos ((y)/(z))

Para f_y , ficamos com o seguinte:

(del f)/(del y) = x (- s e n ((y)/(z)) . (1)/(z)) = - (x)/(z) s e n ((y)/(z))

Assim,

(del f)/(del y) = - (x)/(z) s e n ((y)/(z))

Por fim, vamos ver o f_z :

(del f)/(del z) = x (- s e n ((y)/(z)) . y (- (1)/(z^2)))

Logo,

(del f)/(del z) = (x y)/(z^2) s e n ((y)/(z))

Passo 3

Do Passo 1, temos:

grad f = (del f)/(del x) i + (del f)/(del y) j + (del f)/(del z) k

Substituindo com o que acharmos no Passo 2:

grad f = cos ((y)/(z)) i - (x)/(z) s e n ((y)/(z)) j + (x y)/(z^2) s e n ((y)/(z)) k

Resposta

grad f = cos ((y)/(z)) i - (x)/(z) s e n ((y)/(z)) j + (x y)/(z^2) s e n ((y)/(z)) k

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