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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 22

int_0^4 (4)/(sqrt(x^2 + 9)) d x

Passo 1

Lembra de trigonometria?? Então trigonometria é muitoo importante para resolver integral por causa das suas relações trigonométricas.

O fator dentro da raíz lembra uma relação trigonométrica bem importante né?

t g^2 theta + 1 = sec^2 theta

Ué que que isso tem haver ??

Bem, presta atenção , vamos fazer

x = 3 t g theta , theta ϵ [ - (pi)/(2) , (pi)/(2) ]

O termo dentro da raiz vai ficar

sqrt(x^2 + 9) = sqrt(9 t g^2 theta + 9) = 3 sqrt(t g^2 theta + 1) = 3 s e c theta

Gostou??

Passo 2

Então, derivando em relação a x a equação acima

(d x)/(d x) = (d ( 3 t g theta ))/(d x) = (3 sec^2 theta d theta)/(d x) = 1 ⟹ d x = 3 sec^2 theta d theta

Substituindo na nossa integral

int_0^4 (4)/(3 s e c theta) 3 sec^2 theta d theta = int_(x = 0)^(x = 4) 4 s e c theta d theta = 4 ln |t g theta + s e c theta|

Passo 3

Voltando para nossa variável inicial

4 ln |t g theta + s e c theta| = 4 ln |(x)/(3) + sqrt((x^2)/(9) + 1)| (​|_0 -> 4 = l n 81

Resposta

int_0^4 (4)/(sqrt(x^2 + 9)) d x = l n 81

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