Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 18
18 -Determine para que as circunferências e se interceptem ortogonalmente.
Passo 1
Obs: para evitar confusões, vamos denominar a circunferência dada por e a dada por por .
Para que duas curvas se interceptem ortogonalmente, é necessário que, nos pontos de interseção, as retas tangentes sejam perpendiculares.
Note que, para isso, é importante que pois a distância entre os centros das circunferências deve ser, no máximo, igual a soma dos raios de cada circunferência:
Para isso, derivamos implicitamente as funções das circunferência em relação a x.
Passo 2
Agora, encontraremos, em função de , os pontos de interseção das circunferências:
Note que uma solução trivial para a equação acima é . No entanto, neste caso temos que , e isso implica em elas não se interceptarem ortogonalmente.
Assim, temos
Daí, temos:
Passo 3
Agora que encontramos o valor de , precisamos que o produto dos coeficientes angulares das retas tangentes seja igual a -1.
Primeiramente, substituímos o valor encontrado de x para que possamos expressar y em termos de a também.
Daí, temos:
Agora, substituímos os valores de x e de y no produto das derivadas de :