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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 50

Resolva o problema de valor inicial

(d^2 y)/(d t^2) = 1 - e^(2 t)

y (1) = - 1

y^' (1) = 0

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

(d y)/(d t) = (f ( t ))/(g ( y ))

g (y) d y = f (t) d t

Se g (y) = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y (t) = int f (t) d t

E consequentemente,

y (t) = F (t) + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

(d^2 y)/(d t^2) = 1 - e^(2 t)

Esta é uma EDO de segunda ordem. Por isto, precisamos integrar a nossa função 2 vezes. Na primeira integração, obteremos:

(d^2 y)/(d t^2) = (d)/(d t) y^' = (d)/(d t) ((d y)/(d t)) = f ( t )

Portanto, temos:

(d y)/(d t) = int f (t) d t

E, se integrarmos novamente, obteremos a nossa função. Vamos fazer então a nossa primeira integração.

(d y)/(d t) = int 1 - e^(2 t) d t

(d y)/(d t) = t - (e^(2 t))/(2) + k_1

Passo 3

Vamos utilizar agora a nossa primeira condição de contorno, ou nosso valor inicial. Quando y^' (0) = 0 , desta forma, temos:

y^' (1) = 1 - (e^2)/(2) + k_1 = 0

k_1 = (e^2)/(2) - 1

Portanto, nossa função é:

(d y)/(d t) = y^' (t) = t - (e^(2 t))/(2) + (e^2)/(2) - 1

Passo 4

Precisamos integrar mais uma vez a função obtida no passo anterior. Sendo assim, temos:

y = int (t - (e^(2 t))/(2) + (e^2)/(2) - 1) d t

y = (t^2)/(2) - (e^(2 t))/(4) + ((e^2)/(2) - 1) t + k_2

E agora, resolvemos todas as integrações possíveis, só nos falta descobrir o valor k_2 . Para isto, basta substituir o valor de y (1) = - 1 . Logo,

y (1) = (1)/(2) - (e^2)/(4) + (e^2)/(2) - 1 + k_2 = - 1

- (1)/(2) + (e^2)/(2) + k_2 = - 1

k_2 = - (e^2)/(2) - (1)/(2)

Portanto, temos:

y = (t^2)/(2) - (e^(2 t))/(4) + ((e^2)/(2) - 1) t - ((e^2)/(2) + (1)/(2))

Resposta

y = (t^2)/(2) - (e^(2 t))/(4) + ((e^2)/(2) - 1) t - ((e^2)/(2) + (1)/(2))

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