Resolva o problema de valor inicial

d^2y / dt^2 = 1 - e^(2t)

y(1) = -1

y'^(1) = 0

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

d y d t = f ( t ) g ( y )

g y d y = f t d t

Se g y = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y t = ∫ f t   d t

E consequentemente,

y t = F t + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

d 2 y d t 2 = 1 - e 2 t

Esta é uma EDO de segunda ordem. Por isto, precisamos integrar a nossa função 2 vezes. Na primeira integração, obteremos:

d 2 y d t 2 = d d t y ' = d d t d y d t = f ( t )

Portanto, temos:

d y d t = ∫ f t d t

E, se integrarmos novamente, obteremos a nossa função. Vamos fazer então a nossa primeira integração.

d y d t = ∫ 1 - e 2 t   d t

d y d t = t - e 2 t 2 + k 1

Passo 3

Vamos utilizar agora a nossa primeira condição de contorno, ou nosso valor inicial. Quando y ' 0 = 0 , desta forma, temos:

y ' 1 = 1 - e 2 2 + k 1 = 0

k 1 = e 2 2 - 1

Portanto, nossa função é:

d y d t = y ' t = t - e 2 t 2 + e 2 2 - 1

Passo 4

Precisamos integrar mais uma vez a função obtida no passo anterior. Sendo assim, temos:

y = ∫ t - e 2 t 2 + e 2 2 - 1   d t

y = t 2 2 - e 2 t 4 + e 2 2 - 1 t + k 2

E agora, resolvemos todas as integrações possíveis, só nos falta descobrir o valor k 2 . Para isto, basta substituir o valor de y 1 = - 1 . Logo,

y 1 = 1 2 - e 2 4 + e 2 2 - 1 + k 2 = - 1

- 1 2 + e 2 2 + k 2 = - 1

k 2 = - e 2 2 - 1 2

Portanto, temos:

y = t 2 2 - e 2 t 4 + e 2 2 - 1 t - e 2 2 + 1 2

Resposta

y = t 2 2 - e 2 t 4 + e 2 2 - 1 t - e 2 2 + 1 2

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