Enunciado

A região entre a curva y = 1 / x 2 e o eixo x de x = 1 / 2   a x = 2 é girada em torno do eixo y , gerando um sólido. Determine o volume do sólido.

Passo 1

Temos que obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno do eixo y . Este caso também é semelhante ao cálculo de volume obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo y . A integral que devemos calcular continua sendo a que aprendemos nesta seção. Isto é:

V = ∫ c d A y d y = ∫ c d π R y 2 - r y 2 d y

Entretanto, nós só precisamos fazer uma adaptação. Muito cuidado nessa hora!!! Os raios externos e internos R y e r y devem ser dados em relação ao nosso novo eixo, o qual neste caso é x = - 1

Passo 2

Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelo triângulo.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que descobrir agora quem são essas funções que definem os raios externos e interno.

Passo 3

Começando pela curva R ( y ) , ela é a curva que limita nossa região à direita. Como pode ser observado no gráfico do Passo 2, a curva R ( y ) é governada por duas funções. De 0 ≤ y < 0,25 ela possui um comportamento e de 0,25 ≤ y < 4 ela possui outro. Por isto, vamos escrever a curva R ( y ) através de uma função por partes. Sendo assim, temos:

R y = 2 ,     0 ≤ y < 1 / 4 1 x ,     1 / 4 ≤ y < 4  

Ambas as funções foram obtidas através do enunciado da questão. No caso do primeiro intervalo, foi diretamente, e no caso do segundo intervalo, foi isolado o x na função y = 1 / x 2 .

Já para a curva r ( y ) , a qual é a reta que limita a nossa região à esquerda, ela é determinada mais facilmente. Pelo enunciado da questão, sabemos que:

r y = 1 / 2

Passo 4

Agora, nos falta apenas determinar os limites de integração. Como 0 ≤ y ≤ 4 , os limites superior e inferior são 4 e 0, respectivamente. Entretanto, devemos tomar cuidado na hora de escrever a integral, pois a função R ( y ) possui comportamentos diferentes dentro deste intervalo. Desta forma, o volume do nosso sólido é dado por:

V = ∫ 0 4 π R y 2 - r y 2 d y

V = ∫ 1 / 4 4 π 1 x 2 - 1 2 2 d y + ∫ 0 1 / 4 π 2 2 - 1 2 2 d y

V = ∫ 1 / 4 4 π 1 x - 1 4 d y + ∫ 0 1 / 4 π 4 - 1 4 d y

V = ∫ 1 / 4 4 π 1 x - 1 4 d y + ∫ 0 1 / 4 π 15 16 d y

V = π ln ⁡ x - x 4 1 / 4 4 + π 15 x 16 0 1 / 4

V = π ln ⁡ 4 - 1 - ln ⁡ 4 - 1 - 1 16 + 15 π 64

V = π 4 ln ⁡ 2 + 15 16 + 15 π 64

V = π 4 ln ⁡ 2 + 75 64

Resposta

V = π 4 ln ⁡ 2 + 75 64

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