Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 53
A região entre a curva e o eixo de a é girada em torno do eixo , gerando um sólido. Determine o volume do sólido.
Passo 1
Temos que obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno do eixo . Este caso também é semelhante ao cálculo de volume obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo . A integral que devemos calcular continua sendo a que aprendemos nesta seção. Isto é:
Entretanto, nós só precisamos fazer uma adaptação. Muito cuidado nessa hora!!! Os raios externos e internos e devem ser dados em relação ao nosso novo eixo, o qual neste caso é
Passo 2
Vamos começar por esboçar a nossa região limitada pelo triângulo.
Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que descobrir agora quem são essas funções que definem os raios externos e interno.
Passo 3
Começando pela curva , ela é a curva que limita nossa região à direita. Como pode ser observado no gráfico do Passo 2, a curva é governada por duas funções. De ela possui um comportamento e de ela possui outro. Por isto, vamos escrever a curva através de uma função por partes. Sendo assim, temos:
Ambas as funções foram obtidas através do enunciado da questão. No caso do primeiro intervalo, foi diretamente, e no caso do segundo intervalo, foi isolado o na função .
Já para a curva , a qual é a reta que limita a nossa região à esquerda, ela é determinada mais facilmente. Pelo enunciado da questão, sabemos que:
Passo 4
Agora, nos falta apenas determinar os limites de integração. Como , os limites superior e inferior são 4 e 0, respectivamente. Entretanto, devemos tomar cuidado na hora de escrever a integral, pois a função possui comportamentos diferentes dentro deste intervalo. Desta forma, o volume do nosso sólido é dado por: