Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 24
Determine o volume do sólido dado.
Abaixo do plano e acima da região limitada por e .
Passo 1
O volume de um sólido qualquer limitado acima por uma superfície e abaixo pelo plano é expressa através da seguinte integral dupla:
Em que D é a região limitada no plano em que devemos integrar a função. Portanto, precisamos primeiro compreender como é a nossa região, se ela é do tipo I ou do tipo II. Para isto, começaremos esboçando-a.
Passo 2
Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,
As duas curvas se intersectam nos pontos em que:
Elas se intersectam nos pontos e .
Em relação ao tipo da região, podemos escrevê-la tanto como região do tipo I quanto do tipo II. Portanto, vamos escolher arbitrariamente como sendo uma região do tipo II.
Passo 3
Agora podemos começar a escrever a nossa região. Escrevendo-a como uma região do tipo II, temos:
Já os limites superiores e inferiores são . Portanto, temos a seguinte integral:
Observe que a função foi obtida a partir da superfície dado no enunciado da questão.
Resolvendo-a, temos: