Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 19
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.
, é qualquer caminho de
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo certo?
A questão começar pedindo para mostrarmos que a integral de linha:
É independente do caminho. Para mostrar que a integral de linha é independente do caminho, vamos verificar se o campo vetorial associado a ela é conservativo. Aqui o campo é:
Esse campo será conservativo se obedecer a igualdade:
Que são as derivadas parciais das componentes do campo vetorial. Aqui no nosso caso teremos:
Para resolvermos esse exercício, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e após isso precisaremos encontrar a função potencial do campo para conseguirmos integrar usando o teorema da independência do caminho.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando nossas derivadas parciais:
- Derivando em , tratando como constante:
- Derivando em , tratando como constante:
Viu como as derivadas são iguais? Então provamos nossa igualdade.
Então nosso campo é conservativo!
Pelo teorema da independência do caminho para integral de linha, temos que quando o campo é conservativo sua derivada apenas depende dos pontos finais e iniciais, assim precisamos apenas da função potencial que, como o campo é conservativo, existe e tem derivadas de segunda ordem continuas.
Passo 3
Para encontrar a função potencial, vamos integrar em relação a e depois derivar em relação a . Assim, temos que
Substituindo:
Resolvendo a integral:
Como estamos integrando em , surge uma constante no nosso resultado, que pode ser uma função em : . Derivando a função que acabamos de encontrar em relação a :
Então nossa constante é:
Temos então que nossa função potencial é
Calculando a integral usando o teorema da independência do caminho, temos então que
Usando como e os pontos e
Aplicando os pontos em :
Calculando:
Então: